OBSERVATION CHAMBER / ACTIVE
パスカル射影幾何観測室
円錐曲線上の6点を動かし、射影変換を加えます。無限遠点を含むパスカルの共線性と、1点を曲線から外した場合を比べます。
101 / GEOMETRY / PROJECTIVE INCIDENCE
6点、3交点、1本の直線。
水色の点は変換後の円錐曲線上にあります。色付きの直線は対辺の延長、琥珀色のX、Y、Zはパスカル線上の交点です。
点を円錐曲線に沿ってドラッグするか、A〜Fを選んで角度を変えます。図にフォーカスすると、左右キーで選択点の角度を1°ずつ変えられます。ドラッグ中は表示範囲を固定します。
Canvas 2Dを使えません。操作、座標表、検査、レポートは利用できます。PNGは利用できません。
HOMOGENEOUS COORDINATES
有限点と無限遠点を読む
- 構成の有効性
- 正規化した共線残差（許容値10⁻¹⁰）
- パスカル線 [a,b,c] : ax + by + cw = 0
| 点 | θ | [x,y,w] | 位置 |
|---|
| 点 | 定義 | [x,y,w] | 位置 |
|---|
同次ベクトルはユークリッドノルム1に正規化しています。有限点でも画面外に出る場合があります。無限遠は正規化後の|w| ≤ 10⁻¹²を意味し、大きな有限座標へ置き換えません。無限遠直線そのものには、画面内に描ける有限の線分がありません。
点と直線の診断
BigIntの厳密な例では、整数による有理パラメーター表示を検査します。浮動小数点検査はこの実装の検査です。小さな残差は数値的な一致であり、形式的な証明ではありません。
観測結果を保存
観測レポート
操作するたびに古い出力と検査結果を消します。重複点や未定義の構成では、検査、REPORT、PNGを無効にします。
OBSERVATION GUIDE / GEOMETRY
射影変換で何が保たれるか
- 不規則な6点から始めます。琥珀色の直線上でX、Y、Zを探し、点の角度を変えます。
- pとsを変えます。円は別の非退化円錐曲線へ移りますが、点が直線に乗る関係と共線性は保たれます。|p| = 1のアフィン表示は放物線、|p| > 1では双曲線です。
- 平行な対辺で無限遠の交点を確認します。重複点では必要な仮定が失われます。1点を曲線の外へ出す場合は定理の仮定外です。残差は一般に非零になりますが、すべての配置で必ず共線性が失われるとは限りません。
P(θ) = [cos θ, sin θ, 1]; H = [[1,s,0],[0,1,0],[p,0,1]]; det H = 1.
X = (A × B) × (D × E); Y = (B × C) × (E × F); Z = (C × D) × (F × A).
r = |det(X,Y,Z)| / (‖X‖ ‖Y‖ ‖Z‖).
パスカルの定理は、非退化円錐曲線上の相異なる6点を扱います。点を結ぶ直線と直線の交点は、同次座標の外積で計算します。ここで観測するのは射影幾何の点と直線の関係です。3次曲線の群加算、双曲距離、複素写像とは異なり、距離や角度の保存は主張しません。
アップロードや登録は不要です。ブラウザ内で計算します。
観測ポリシー
同次座標を使う射影幾何の模型をブラウザ内で計算します。点、計算、レポート、画像は外部へ送信しません。保つのは接続関係であり、ユークリッド距離ではありません。実物の測定は行いません。