OBSERVATION CHAMBER / ACTIVE
カテノイド極小曲面観測室
同軸の円環を離し、カテノイドの2つの枝、面積、曲率、接続した極小曲面の限界を観測します。
LAB 88 / GEOMETRY / MINIMAL SURFACE · 幾何の観測ルート
01 / OBSERVE THE SURFACE
2つの円環、2つのくびれ
ドラッグで回転します。「円環の間隔」を選ぶと、上下のドラッグで間隔を変えます。曲面にフォーカス中は、矢印で回転、＋/−でq変更、Rでリセット。
シアン: 太い枝 · 紫: 細い枝 · 黄: 境界の円環 / 2円板。表示はRを長さの単位にします。
03 / READ THE GEOMETRY
面積と曲率は別の指標
- 接続解の数
- —
- 全間隔 d
- —
- くびれ半径 a
- —
- 曲面積 A
- —
- A / (2πR²)
- —
- max |H_mean|
- —
- くびれのガウス曲率 K
- —
- |R − a cosh(d/2a)| / R
- —
H_meanは断面の微分から33点で再計算します。2つの主曲率が打ち消し合うためゼロです。Kは負です。平均曲率ゼロは、平面であることを意味しません。
MODEL / SCOPE
固定した円をつなぐ膜
半径Rが等しい2つの平行な同軸円環を固定します。重力と圧力差はゼロです。接続面は回転面で、体積の制約はありません。平衡モデルであり、崩壊の実時間流体計算、体積一定の液体橋、一般のPlateau問題の解法は扱いません。
LAB 82の垂れ下がる鎖と異なり、ここでは2次元の膜の面積、主曲率、境界を固定した摂動に対する安定性を観測します。
FORMULA / TWO BRANCHES
同じ境界に2つの停留曲面
R = a cosh(d/(2a)), u = d/(2a)
q = d/R = 2u / cosh(u)
A = 2πa²[u + sinh(u) cosh(u)]
H_mean = (1 + r′² − rr″) / [2r(1+r′²)^(3/2)]
K(z) = −1 / [a² cosh⁴(z/a)]
単調な枝をそれぞれ二分法で解きます。u tanh(u) = 1 で根が合体します。q = 1.3254868386983631 を超えると、境界条件を満たす接続したカテノイドはありません。
STABILITY / AREA
2つの閾値を分ける
太い枝は q ≈ 1.055394794 で、離れた2枚の円板と面積が等しくなります。この点を超えても、q ≈ 1.325486839 の解の合体まで局所安定です。細い枝は不安定で、合体した解は安定限界で中立です。この判定は既知のカテノイドの第二変分条件に基づき、面積比較だけから判定していません。
黄色の水平線は、比較対象の離れた円板 A = 2πR² です。色の曲線は平衡解の集まりであり、時間変化の軌跡ではありません。
HOW TO OBSERVE
3つの比較
- q = 0.8 で太い枝と細い枝を切り替えます。どちらも円環を満たし平均曲率はゼロですが、安定性が異なります。
- 面積比較を開きます。面積が等しい点、解の限界の順に進みます。qを限界より大きくし、解がない状態を確認します。
- Rを1から2へ増やします。面積は4倍ですが、qとA/(2πR²)は変わりません。レポートかPNGで記録できます。
04 / RECORD AND VERIFY
現在の平衡を記録する
PNGを保存作成したレポート
枝の数2/1/0、境界残差、曲率、独立した面積積分、スケール、不正入力、重根を検査します。模型や視点を変更すると、レポートと保存リンクを消去します。
Karcher & Polthier — Geometric Properties III
Jana & Kar — Perturbative stability of catenoidal soap films
観測ポリシー
この静的な数理モデルはブラウザ内で動きます。入力、レポート、画像は外部へ送信しません。実物の石けん膜、来訪者、材料を測定しません。